Mathematik ist schön - Anregungen zum Anschauen und Erforschen für Menschen zwischen 9 und 99 Jahren

von: Heinz Klaus Strick

Springer-Verlag, 2017

ISBN: 9783662537305

Sprache: Deutsch

360 Seiten, Download: 30016 KB

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Mathematik ist schön - Anregungen zum Anschauen und Erforschen für Menschen zwischen 9 und 99 Jahren

	Vorwort	5
	Inhaltsverzeichnis	9
	1 Regelmäßige Vielecke und Sterne	14
	1.1 Eigenschaften regelmäßiger Sterne	14
	1.2 Sterne zeichnen	20
	1.3 Diagonalen in einem regelmäßigen n-Eck	22
	1.4 Zackenwinkel im regelmäßigen n-zackigen Stern	24
	1.5 Aufgesetzte n-zackige Sterne	28
	1.6 Regelmäßige n-Ecke in der Gauß’schen Zahlenebene	29
	1.7 Spielpläne mithilfe von regelmäßigen n-Ecken aufstellen	34
	1.8 Hinweise auf weiterführende Literatur	36
	2 Muster aus bunten Steinen	37
	2.1 Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen	37
	2.2 Die Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen	42
	2.3 Quotienten von Summen ungerader natürlicher Zahlen	45
	2.4 Darstellung einer natürlichen Zahl als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen	47
	2.5 Summe der ersten n Quadratzahlen von natürlichen Zahlen	53
	2.6 Summe der ersten n Kubikzahlen von natürlichen Zahlen	56
	2.6.1 Beweis der Formel für die Summe der ersten n Kubikzahlen durch Al-Karaji	57
	2.6.2 Beweis der Summenformel für Kubikzahlen durch Wheatstone	59
	2.7 Pythagoreische Zahlentripel	62
	2.7.1 Einfache Typen pythagoreischer Zahlentripel	63
	2.7.2 Weitere pythagoreische Zahlentripel	65
	2.7.3 Allgemeine Methode zur Bestimmung aller pythagoreischen Zahlentripel	67
	2.7.4 Herleitung der Formel zur Erzeugung aller pythagoreischen Zahlentripel	69
	2.8 Hinweise auf weiterführende Literatur	70
	3 Zerlegung von Rechtecken in möglichst große Quadrate	71
	3.1 Ein Spiel mit einem Rechteck	71
	3.2 Rechnerische Untersuchung des Spiels – Beschreibung mithilfe von Kettenbrüchen	74
	3.3 Zusammenhang zwischen der Kettenbruchentwicklung und den Rechteckseiten	76
	3.4 Die Zerlegung besonderer Rechtecke – Fibonacci-Rechtecke	77
	3.5 Die Folge der Fibonacci-Zahlen	79
	3.6 Zusammenhang mit dem Euklidischen Algorithmus	82
	3.7 Beispiele unendlicher Folgen von Rechteckzerlegungen	85
	3.8 Bestimmung der Kettenbrüche von Quadratwurzeln	89
	3.9 Hinweise auf weiterführende Literatur	90
	4 Kreise und Kreisringe	92
	4.1 Die Kreiszahl ? – Umfang und Flächeninhalt eines Kreises	92
	4.2 Kreisringe	94
	4.3 Verschobene Halbkreise	98
	4.4 Flechtbänder	101
	4.5 Laufbahnen	101
	4.6 Hinweise auf weiterführende Literatur	103
	5 Pentominos und ähnliche Puzzles	105
	5.1 Einfache Polyominos	105
	5.2 Pentominos	108
	5.2.1 Parkettierung von Rechtecken durch Pentominos	108
	5.2.2 Parkettierung von vergrößerten Pentomino-Figuren durch Pentominos	112
	5.2.3 Parkettierung von Dreiecksfiguren mithilfe von Pentominos	114
	5.3 Hexominos	116
	5.4 Hinweise auf weiterführende Literatur	117
	6 Fadenbilder	118
	6.1 Grundfigur Kreis – Seiten und Diagonalen in regelmäßigen Vielecken	118
	6.2 Grundfigur Quadrat	120
	6.2.1 Besondere Sternfiguren in einem Quadrat	120
	6.2.2 Parabeln in einem Quadrat	121
	6.3 Exkurs: Einhüllende einer Funktionenschar	124
	6.3.1 Beispiele von Geradenscharen, die im Rahmen des Schulunterrichts behandelt werden	124
	6.3.2 Ermittlung der Gleichung der einhüllenden Parabel	125
	6.4 Verfolgungskurven	129
	6.5 Grundfigur Kreis: Epizykloide	131
	6.6 Grundfigur zueinander senkrechte Achsen: Astroide	133
	6.7 Hinweise auf weiterführende Literatur	135
	7 Rechnen mit Quadratzahlen – Zahlenzyklen	136
	7.1 Rechnen mit Quadratzahlen	137
	7.1.1 Rechnen mit Quadratzahlen: Von einer Quadratzahl zur nächsten	137
	7.1.2 Rechnen mit Quadratzahlen: Besondere Regel für Quadratzahlen mit Endziffer 5	138
	7.1.3 Rechnen mit Quadratzahlen: Produkte aus symmetrisch liegenden benachbarten Zahlen	139
	7.1.4 Rechnen mit Quadratzahlen: Kontrolle der Endziffern	141
	7.1.5 Rechnen mit Quadratzahlen: Vergleich der Methoden	142
	7.2 Zahlenzyklen	144
	7.2.1 Zahlenzyklen, die nach einem oder zwei Schritten enden	145
	7.2.2 Periodische Zyklen	146
	7.3 Zahlenzyklen modulo n	147
	7.4 Zahlenzyklen bei höheren Potenzen	149
	7.4.1 Untersuchungen der letzten beiden Endziffern von Kubikzahlen	149
	7.4.2 Untersuchung der letzten drei Endziffern einer Kubikzahl	151
	7.5 Hinweise auf weiterführende Literatur	153
	8 Flächenaufteilungen	154
	8.1 Fortgesetzte Halbierungen	154
	8.2 Fortgesetzte Dreiteilungen	156
	8.3 Fortgesetzte Vierteilungen	158
	8.4 Fortgesetzte Fünfteilungen	160
	8.5 Fortgesetzte Teilungen in n gleich große Teilflächen	162
	8.6 Geometrische Folgen und Reihen	163
	8.7 Zerlegung von regelmäßigen n-Ecken in gleich große Teilflächen	165
	8.8 Hinweise auf weiterführende Literatur	168
	9 Wiegen im 3er-System	169
	9.1 Lösung der einfachen Fälle des Wägeproblems	170
	9.2 Lösung der übrigen Fälle des Wägeproblems	171
	9.3 Darstellung natürlicher Zahlen im 3er-System	173
	9.4 Zusammenhang zwischen den beiden Darstellungen	174
	9.5 Hinweise auf weiterführende Literatur	177
	10 Parkettieren von regelmäßigen 2n-Ecken mithilfe von Rauten	178
	10.1 Parkettierung eines regelmäßigen 10-Ecks	179
	10.2 Anwenden der Parkettierungsmethode auf andere regelmäßige 2n-Ecke	180
	10.3 Verallgemeinerungen der beobachteten Gesetzmäßigkeiten	182
	10.4 Anleitung zum Basteln der Rauten-Puzzles	184
	10.5 Alternative Auslegungen des regelmäßigen 10-Ecks mit Rauten	185
	10.6 Zentralsymmetrische Parkettierung der regelmäßigen 2n-Ecke von innen nach außen	187
	10.7 Zentralsymmetrische Parkettierung der regelmäßigen 2n-Ecke von außen nach innen	189
	10.8 Rauten-Parkettierungen für regelmäßige 5-Ecke, 7-Ecke, 9-Ecke usw	192
	10.9 Hinweise auf weiterführende Literatur	194
	11 Untersuchungen zum Satz von Pick	195
	11.1 Eine Regel für Rechtecke	196
	11.2 Eine Regel für rechtwinklige Vielecke	198
	11.3 Überprüfung der Regel für schräg abgeschnittene Dreiecke	200
	11.4 Überlegungen zu einem allgemeinen Beweis des Satzes von Pick	201
	11.5 Hinweise auf weiterführende Literatur	204
	12 Augensummen	206
	12.1 Augensummen beim Werfen von zwei regelmäßigen Hexaedern	207
	12.2 Augensummen beim Werfen von mehreren regelmäßigen Hexaedern	209
	12.3 Eine fehlerhafte Vorstellung über Augensummen	211
	12.4 Ein faires Würfelspiel mit Augensummen	214
	12.5 Die Sicherman-Würfel	215
	12.6 Weitere Ersatz-Zufallsgeräte für den Doppelwurf	216
	12.7 Algebraischer Hintergrund für die verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten	219
	12.8 Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augensummen beim n-fachen Würfeln	223
	12.9 Wahrscheinlichkeitsverteilungen der platonischen Körper	225
	12.10 Vergleich von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit gleichen Augensummen	227
	12.11 Ein Beispiel zum Zentralen Grenzwertsatz	229
	12.12 Bestimmen von Augensummen mithilfe von Markow-Ketten	232
	12.13 Hinweise auf weiterführende Literatur	234
	13 Das verschwundene Quadrat	236
	13.1 Scheinbar zueinander kongruente Figuren	237
	13.2 Das verschwundene Quadrat im Zusammenhang mit dem Höhensatz des Euklid	242
	13.3 Das verschwundene Quadrat im Zusammenhang mit anderen Methoden Euklids	247
	13.3.1 Anwendung des Kathetensatzes	247
	13.3.2 Umwandlung durch Flächenanlegung	248
	13.4 Weitere Eigenschaften der Folge der Fibonacci-Zahlen	249
	13.5 Anordnung von Sam Loyd	251
	13.6 Weitere geeignete Zahlentripel	252
	13.7 Das verschwundene Quadrat im Zusammenhang mit dem Satz von Pythagoras	253
	13.8 Hinweise auf weiterführende Literatur	254
	14 Zerlegen von Rechtecken in lauter verschiedene Quadrate	256
	14.1 Rechtecke, die sich in neun bzw. zehn verschieden große Quadrate zerlegen lassen	257
	14.2 Bestimmen der Seitenlängen zu einer gegebenen Zerlegung	259
	14.3 Einführung der Bouwkamp-Notation zur Beschreibung einer Zerlegung	263
	14.4 Quadrate, die man in lauter verschieden große Quadrate zerlegen kann	266
	14.5 Zusammenhang mit elektrischen Netzwerken	269
	14.6 Ein Spiel mit Rechteckzerlegungen	270
	14.7 Hinweise auf weiterführende Literatur	271
	15 Kissing Circles	273
	15.1 Untersuchung sich berührender Kreise mithilfe trigonometrischer Methoden	274
	15.2 Der Vier-Kreise-Satz von Descartes	276
	15.3 Bestimmung von Beispielen mit ganzzahligen Radien	280
	15.4 Pappos-Ketten	284
	15.5 Berührende Kreise mit Krümmung 0	287
	15.6 Hinweise auf weiterführende Literatur	289
	16 Summen von Potenzen aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen	290
	16.1 Herleitung von Summenformeln mithilfe arithmetischer Folgen höherer Ordnung	291
	16.2 Koeffizientenbestimmung durch Vergleich aufeinanderfolgender Glieder der Summenfolge	298
	16.3 Alhazens Herleitung der Summenformeln für höhere Potenzen	300
	16.4 Thomas Harriot entdeckt den Zusammenhang zwischen Dreiecks- und Tetraederzahlen	303
	16.5 Fermats Entdeckung	308
	16.6 Pascals Methode zur Bestimmung von Formeln für Potenzsummen	310
	16.7 Darstellung der Potenzsummen-Formeln mithilfe der Bernoulli-Zahlen	312
	16.8 Bestimmung von Potenzsummen-Formeln mithilfe der Lagrange-Interpolation	313
	16.9 Hinweise auf weiterführende Literatur	315
	17 Der Satz des Pythagoras	316
	17.1 Der Satz des Pythagoras und die klassischen Beweise von Euklid	316
	17.1.1 Erster Beweis von Euklid	317
	17.1.2 Zweiter Beweis von Euklid	319
	17.2 „Schöne“ Beweise des Satzes von Pythagoras	322
	17.3 Zerlegungsbeweise des Satzes von Pythagoras	324
	17.3.1 Ein Zerlegungsbeweis von Perigal	324
	17.3.2 Ein Zerlegungsbeweis von Göpel	325
	17.3.3 Ein Zerlegungsbeweis von Gutheil	326
	17.3.4 Ein Zerlegungsbeweis von Epstein und Nielsen	326
	17.3.5 Ein Zerlegungsbeweis von Dobriner und Thieme	327
	17.4 Darstellung der Zerlegungsbeweise mithilfe von Fliesenmustern	328
	17.5 Einige Beweise von historischer Bedeutung	329
	17.6 Unendliche Folgen im Zusammenhang mit dem Satz von Pythagoras	333
	17.7 Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras	335
	17.8 Die Möndchen des Hippokrates von Chios und andere Kreisfiguren	336
	17.9 Anwendung des Satzes von Pythagoras bei Vierecken	341
	17.10 Ganzzahlige Pythagoras-Partner und besondere Pythagoras-Folgen	342
	17.11 Heron’sche Dreiecke	347
	17.12 Briefmarken zu Pythagoras	350
	17.13 Hinweise auf weiterführende Literatur	352
	Allgemeine Hinweise auf geeignete Literatur	354
	Sachverzeichnis	356

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