Mathematik - einfach genial! - Bemerkenswerte Ideen und Geschichten von Pythagoras bis Cantor

Mathematik - einfach genial! - Bemerkenswerte Ideen und Geschichten von Pythagoras bis Cantor

von: Heinz Klaus Strick

Springer-Verlag, 2020

ISBN: 9783662604496

Sprache: Deutsch

393 Seiten, Download: 30236 KB

 
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Mathematik - einfach genial! - Bemerkenswerte Ideen und Geschichten von Pythagoras bis Cantor



  Vorwort 5  
  Inhaltsverzeichnis 7  
  1 Pythagoras von Samos – Sektenführer und Philosoph 14  
     1.1 Einfach genial: Pythagoreische Zahlenmuster 16  
        1.1.1 Dreieckszahlen 17  
        1.1.2 Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen 23  
        1.1.3 Winkelhaken 25  
        1.1.4 Pythagoreische Zahlentripel 27  
     1.2 Wer war Pythagoras? Wer waren die Pythagoreer? 30  
     1.3 Weitere pythagoreische Zahlenmuster 33  
     1.4 Literaturhinweise 34  
  2 Archimedes von Syrakus – Mathematiker, Physiker und Ingenieur 36  
     2.1 Einfach genial: Archimedes bestimmt den Flächeninhalt eines Parabelsegments 37  
     2.2 Wer war Archimedes? 42  
     2.3 Mit welchen (mathematischen) Themen beschäftigte sich Archimedes außerdem? 48  
        2.3.1 Über die Methode 49  
        2.3.2 Über das Gleichgewicht ebener Flächen 49  
        2.3.3 Kreismessung 51  
        2.3.4 Über Spiralen 54  
        2.3.5 Über Kugel und Zylinder 56  
        2.3.6 Archimedisches Axiom 60  
        2.3.7 Stomachion 60  
        2.3.8 Sandrechner 61  
        2.3.9 Das Buch der Lemmata 61  
        2.3.10 Über regelmäßige Körper 66  
     2.4 Literaturhinweise 68  
  3 Muhammed al-Khwarizmi – Vater der Algebra 69  
     3.1 Einfach genial: al-Khwarizmis Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen 70  
        3.1.1 Lösung des Aufgabentyps „Quadrate und Wurzeln sind gleich Zahlen“ 71  
        3.1.2 Lösung des Aufgabentyps „Quadrate und Zahlen sind gleich Wurzeln“ 73  
        3.1.3 Lösung des Aufgabentyps „Quadrate sind gleich Wurzeln und Zahlen“ 78  
     3.2 Wer war al-Khwarizmi? 81  
     3.3 Mit welchen (mathematischen) Themen beschäftigte sich al-Khwarizmi außerdem? 82  
     3.4 Literaturhinweise 83  
  4 Ali al-Hasan Ibn al-Haitham – Vater der Optik 85  
     4.1 Einfach genial: Ibn al-Haitham leitet eine Summenformel für Quadratzahlen her 86  
     4.2 Wer war Ibn al-Haitham? 88  
     4.3 Mit welchen (mathematischen) Themen beschäftigte sich al-Haitham außerdem? 90  
     4.4 Literaturhinweise 94  
  5 Abu Arrayhan al-Biruni – Universalgelehrter aus Afghanistan 96  
     5.1 Einfach genial: Abu Arrayhan al-Biruni bestimmt den Erdradius 97  
        5.1.1 Bestimmung des Erdradius durch Eratosthenes 97  
        5.1.2 Messungen und Rechnungen zur Bestimmung einer Berghöhe 99  
        5.1.3 Messungen und Rechnungen zur Bestimmung des Erdradius 100  
        5.1.4 Ergebnis der Messungen und Berechnungen al-Birunis 101  
     5.2 Wer war al-Biruni? 102  
     5.3 Mit welchen Themen beschäftigte sich al-Biruni außerdem? 104  
     5.4 Literaturhinweise 107  
  6 Omar Khayyam – Mathematiker, Philosoph und Dichter 108  
     6.1 Einfach genial: Omar Khayyams geometrische Methode zur Lösung kubischer Gleichungen 109  
        6.1.1 Die 25 möglichen Typen von Gleichungen maximal 3. Grades 110  
        6.1.2 Lösungen der verschiedenen Gleichungstypen 112  
     6.2 Wer war Omar Khayyam? 119  
     6.3 Vierzeiler von Omar Khayyam 121  
     6.4 Literaturhinweise 124  
  7 Jamshid al-Kashi – letzter bedeutender Mathematiker des islamischen Mittelalters 126  
     7.1 Einfach genial: Jamshid al-Kashi bestimmt sin(1°) auf 18 Stellen genau 128  
     7.2 Wer war al-Kashi? 131  
     7.3 Mit welchen (mathematischen) Themen beschäftigte sich al-Kashi außerdem? 132  
     7.4 Literaturhinweise 137  
  8 Niccolò Tartaglia und Girolamo Cardano – wem gebührt die Ehre? 138  
     8.1 Einfach genial: Niccolò Tartaglia entwickelt ein Lösungsverfahren für eine kubische Gleichung 140  
        8.1.1 Lösung der speziellen Gleichung 141  
        8.1.2 Lösung der allgemeinen Gleichung 142  
        8.1.3 Lösung der anderen Gleichungstypen 143  
     8.2 Wer waren Girolamo Cardano und Niccolò Tartaglia? 145  
        8.2.1 Cardanos erste Lebensjahre 145  
        8.2.2 Tartaglias erste Lebensjahre 146  
        8.2.3 Cardano nimmt Kontakt zu Tartaglia auf 147  
        8.2.4 Das Ende der dramatischen Geschichte 148  
     8.3 Literaturhinweise 150  
  9 John Napier – Meister des Rechnens 152  
     9.1 Einfach genial: John Napier erfindet seine Logarithmen 153  
        9.1.1 Vordenker Michael Stifel 153  
        9.1.2 Napiers Logarithmen 155  
        9.1.3 Rechnen mit Napiers Logarithmen 157  
        9.1.4 Die dekadischen Logarithmen des Henry Briggs 159  
        9.1.5 Anwendung der Logarithmengesetze 162  
     9.2 Wer war John Napier? 164  
     9.3 Mit welchen (mathematischen) Themen beschäftigte sich Napier außerdem? 165  
        9.3.1 Die Napier’schen Rechenstäbe 166  
        9.3.2 Der Napier’sche Schachbrett-Rechner 169  
        9.3.3 Die Napier’schen Regeln 170  
     9.4 Entwicklung besonderer Rechenmethoden um das Jahr 1600 171  
        9.4.1 Die Methode der Prosthaphaeresis 171  
        9.4.2 Jost Bürgis Progress Tabulen 173  
        9.4.3 Verbreitung der Logarithmenrechnung 174  
     9.5 Literaturhinweise 177  
  10 René Descartes – Begründer der Analytischen Geometrie 179  
     10.1 Einfach genial: René Descartes entdeckt eine Vorzeichenregel für Polynome 180  
     10.2 Wer war René Descartes? 184  
     10.3 Mit welchen (mathematischen) Themen beschäftigte sich Descartes außerdem? 187  
        10.3.1 Das kartesische Blatt 187  
        10.3.2 Der Descartes’sche Vier-Kreise-Satz 188  
        10.3.3 Descartes’ Lösung des Tangentenproblems 191  
        10.3.4 Descartes’ geometrische Lösung einer quadratischen Gleichung vom Typ x2 + ax = b2 195  
     10.4 Zum Beweis der Vorzeichenregel von Descartes 195  
     10.5 Literaturhinweise 199  
  11 Pierre de Fermat –verkanntes Mathematikgenie aus der Provinz 201  
     11.1 Einfach genial: Pierre de Fermats Methode der Flächenbestimmung bei Potenzfunktionen 202  
     11.2 Wer war Pierre de Fermat? 205  
     11.3 Mit welchen (mathematischen) Themen beschäftigte sich Fermat außerdem? 213  
        11.3.1 Formeln für Potenzsummen 213  
        11.3.2 Fermat’sche Spirale 214  
        11.3.3 Fermat-Punkt 215  
        11.3.4 Anwendung der Methode des unendlichen Abstiegs 216  
        11.3.5 Darstellung von Primzahlen als Summe von Quadratzahlen 217  
        11.3.6 Lösung der sog. Pell’schen Gleichung 220  
        11.3.7 Mersenne- und Fermat-Primzahlen 222  
        11.3.8 Kleiner Fermat’scher Satz 223  
        11.3.9 Fermat’scher Primzahltest 226  
        11.3.10 Faktorisierung großer Zahlen 227  
        11.3.11 Ein Beitrag Fermats zur Physik 229  
     11.4 Literaturhinweise 230  
  12 Blaise Pascal – tiefsinniger Theologe und Mathematiker 232  
     12.1 Einfach genial: Pascals Lösung des Problème des partis 233  
        12.1.1 Fermats kombinatorische Lösung 233  
        12.1.2 Pascals rekursive Methode 235  
        12.1.3 Pascals geniale Lösung mithilfe des triangle arithmétique 237  
        12.1.4 Die Lösungsversuche von Pacioli, Tartaglia und Cardano 242  
     12.2 Wer war Blaise Pascal? 243  
     12.3 Mit welchen (mathematischen) Themen beschäftigte sich Pascal außerdem? 246  
        12.3.1 Weiterer Beitrag zur Wahrscheinlichkeitsrechnung 246  
        12.3.2 Summenformel für Potenzen natürlicher Zahlen und Ansätze zur Integralrechnung 248  
        12.3.3 Pascals Beiträge zur Physik 249  
        12.3.4 Pascals Traité général de la Roulette 250  
     12.4 Literaturhinweise 251  
  13 Abraham de Moivre – ein genialer Franzose im englischen Exil 252  
     13.1 Einfach genial: Abraham de Moivre entdeckt den Zusammenhang zwischen den Mehrfachwinkelsätzen und den komplexen Zahlen 254  
        13.1.1 Die Moivre’sche Formel 254  
        13.1.2 Anwendung der Moivre’schen Formel beim Ziehen einer n-ten Wurzel 256  
        13.1.3 Lösung einer kubischen Gleichung mithilfe eines Dreifachwinkelsatzes 256  
        13.1.4 Die Euler’sche Gleichung 258  
        13.1.5 Darstellung von n-ten Wurzeln in der Gauß’schen Zahlenebene 260  
     13.2 Wer war Abraham de Moivre? 262  
     13.3 Mit welchen (mathematischen) Themen beschäftigte sich de Moivre außerdem? 264  
     13.4 Literaturhinweise 269  
  14 Leonhard Euler – „unser aller Meister“ 270  
     14.1 Einfach genial: Leonhard Euler löst das Basler Problem 271  
     14.2 Wer war Leonhard Euler? 280  
     14.3 Mit welchen Themen beschäftigte sich Leonhard Euler außerdem? 283  
        14.3.1 Zusammenhang zwischen der harmonischen Reihe und der Logarithmusfunktion 284  
        14.3.2 Die Euler’sche Gammafunktion 285  
        14.3.3 Beiträge Eulers zur Zahlentheorie 286  
        14.3.4 Eulers Lösung des Rencontre-Problems 291  
        14.3.5 Eulers Beiträge zur Kombinatorik 294  
        14.3.6 Der Euler’sche Polyedersatz 300  
        14.3.7 Euler begründet die Graphentheorie 301  
     14.4 Literaturhinweise 303  
  15 Joseph-Louis Lagrange – vielseitiger Mathematiker und Physiker 305  
     15.1 Einfach genial: Joseph-Louis Lagrange charakterisiert periodische Kettenbrüche 307  
        15.1.1 Endliche Kettenbrüche 307  
        15.1.2 Unendliche Kettenbrüche 313  
     15.2 Wer war Joseph-Louis Lagrange? 321  
     15.3 Mit welchen (mathematischen) Themen beschäftigte sich Lagrange außerdem? 324  
     15.4 Ergänzung: Kettenbrüche bei Huygens, Brounker und Wallis 328  
     15.5 Literaturhinweise 329  
  16 Jean Baptiste Joseph Fourier – von der Französischen Revolution zur Revolution der Wärmelehre 331  
     16.1 Einfach genial: Joseph Fourier approximiert periodische Funktionen mithilfe trigonometrischer Funktionen 333  
        16.1.1 Eigenschaften von Produkten trigonometrischer Funktionen 333  
        16.1.2 Der Fourier’sche Ansatz für eine Reihenentwicklung 336  
        16.1.3 Beispiele von Fourier-Reihen 337  
     16.2 Wer war Jean Baptiste Joseph Fourier? 341  
     16.3 Literaturhinweise 344  
  17 William Rowan Hamilton – ein unglückliches Genie aus Irland 345  
     17.1 Einfach genial: William Rowan Hamilton entdeckt die Quaternionen 348  
        17.1.1 Hamilton findet eine angemessene algebraische Struktur für die komplexen Zahlen 349  
        17.1.2 Hamilton entdeckt die Quaternionen 351  
     17.2 Wer war William Rowan Hamilton? 354  
     17.3 Mit welchen (mathematischen) Themen beschäftigte sich Hamilton außerdem? 356  
     17.4 Literaturhinweise 357  
  18 Georg Cantor – Erforscher des Unendlichen 359  
     18.1 Einfach genial: Georg Cantor unterscheidet Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit von unendlichen Mengen 360  
        18.1.1 Gleichmächtige unendliche Zahlenmengen 360  
        18.1.2 Mächtigkeit der Menge der rationalen Zahlen 363  
        18.1.3 Mächtigkeit der Menge der algebraischen Zahlen 367  
        18.1.4 Die Überabzählbarkeit der Menge der transzendenten Zahlen 369  
        18.1.5 Die Cantor-Menge 371  
     18.2 Wer war Georg Cantor? 372  
     18.3 Eine Alternative zum ersten Cantor’schen Diagonalverfahren: Der Stern-Brocot-Baum 376  
     18.4 Literaturhinweise 381  
  Allgemeine Literaturhinweise 383  
  Stichwortverzeichnis 384  

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